벡터 공간의 Dimension 및 벡터의 element 개수

Dimension 개념은 벡터 공간에만 사용한다.
Dimension은 벡터 공간의 기저 벡터 개수이다.

• 벡터 공간의 Dimension과 벡터의 element 개수는 동일하다.
  • 조금만 생각해보면 당연할 것이, 예를들어 3차원 공간에서 벡터(화살표) 하나를 그래프에서 표현한다고 했을 때 3개의 축에 대한 값들을 입력해줘야 표현이 가능하다.
• 벡터공간과 부분공간에서 오는 Dimension 혼동
  • \(U \in V\) 일 때 \(U\)의 기저벡터 개수는 \(V\) 보다 작거나 같다. 그러나 두 기저 벡터 각각의 element 개수는 같다.

• \(\forall x \in R^{m \times n}\) 이면 모든 \(x\) 원소는 \(m \times n\) 행렬이다

• \(V_1 \in R^3\) 일 때
  • V_1은 3개의 축으로 표현가능한 하나의 화살표(벡터)이다.
• \(V_1 \subset R^3\) 일 때
  • V_1은 3개의 축으로 표현가능한 화살표를 최소 2개이상 가지고 있는 집합이다.

차원의 확장 필요성

포스터 참고

내적의 정확한 수학적 의의가 뭐지? 있으면 어디에 좋은걸까?